Question

【題目】若關于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有兩個實數根x1、x2 ， 則x1（x2+x1）+x22的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有兩個實數根， 則△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，
∴m≤ ，
∵x1（x2+x1）+x22
=（x2+x1）2﹣x1x2
=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m2﹣m+ ﹣ ）+2
=3（m﹣ ）2 + ；
∴當m= 時，有最小值 ；
∵ ＜ ，
∴m= 成立；
∴最小值為 ；
所以答案是： ．
【考點精析】關于本題考查的根與系數的關系和二次函數的最值，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．