【題目】如圖,在⊙O中,弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G,OA⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的直線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,AC∥BF.
(1)若∠FGB=∠FBG,求證:BF是⊙O的切線;
(2)若tan∠F= ,CD=a,請(qǐng)用a表示⊙O的半徑;
(3)求證:GF2﹣GB2=DFGF.
【答案】
(1)證明:∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵OA⊥CD,
∴∠OAB+∠AGC=90°,
又∵∠FGB=∠FBG,∠FGB=∠AGC,
∴∠FBG+∠OBA=90°,
即∠OBF=90°,
∴OB⊥FB,
∵AB是⊙O的弦,
∴點(diǎn)B在⊙O上,
∴BF是⊙O的切線
(2)解:∵AC∥BF,
∴∠ACF=∠F,
∵CD=a,OA⊥CD,
∴CE= CD= a,
∵tanF= ,
∴tan∠ACF= = ,
即 = ,
解得AE= a,
連接OC,設(shè)圓的半徑為r,則OE=r﹣ a,
在Rt△OCE中,CE2+OE2=OC2,
即( a)2+(r﹣ a)2=r2,
解得r= a;
(3)證明:連接BD,
∵∠DBG=∠ACF,∠ACF=∠F(已證),
∴∠DBG=∠F,
又∵∠FGB=∠BGF,
∴△BDG∽△FBG,
∴ = ,
即GB2=DGGF,
∴GF2﹣GB2=GF2﹣DGGF=GF(GF﹣DG)=GFDF,
即GF2﹣GB2=DFGF.
【解析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA,然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°,從而得到OB⊥FB,再根據(jù)切線的定義證明即可;(2)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACF=∠F,根據(jù)垂徑定理可得CE= CD= a,連接OC,設(shè)圓的半徑為r,表示出OE,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出r;(3)連接BD,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,從而求出△BDG和△FBG相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出BG2 , 然后代入等式左邊整理即可得證.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某水上樂園有一個(gè)滑梯AB,高度AC為6米,傾斜角為60°,暑期將至,為改善滑梯AB的安全性能,把傾斜角由60°減至30°
(1)求調(diào)整后的滑梯AD的長(zhǎng)度;
(2)調(diào)整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù): ≈1.41, , ≈2.45)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知l1∥l2∥l3 , 相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上,則sinα的值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校舉行的“中國(guó)學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日”活動(dòng)中,設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié):在一只不透明的箱子中有3個(gè)球,其中2個(gè)紅球,1個(gè)白球,它們除顏色外均相同.
(1)隨機(jī)摸出一個(gè)球,恰好是紅球就能中獎(jiǎng),則中獎(jiǎng)的概率是多少?
(2)同時(shí)摸出兩個(gè)球,都是紅球 就能中特別獎(jiǎng),則中特別獎(jiǎng)的概率是多少?(要求畫樹狀圖或列表求解)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校舉行的“中國(guó)學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日”活動(dòng)中,設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié):在一只不透明的箱子中有3個(gè)球,其中2個(gè)紅球,1個(gè)白球,它們除顏色外均相同.
(1)隨機(jī)摸出一個(gè)球,恰好是紅球就能中獎(jiǎng),則中獎(jiǎng)的概率是多少?
(2)同時(shí)摸出兩個(gè)球,都是紅球 就能中特別獎(jiǎng),則中特別獎(jiǎng)的概率是多少?(要求畫樹狀圖或列表求解)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2 , 則x1(x2+x1)+x22的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),連接AE、BF,交點(diǎn)為G.
(1)求證:AE⊥BF;
(2)將△BCF沿BF對(duì)折,得到△BPF(如圖2),延長(zhǎng)FP到BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,求sin∠BQP的值;
(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使邊AB正好落在AE上,得到△AHM(如圖3),若AM和BF相交于點(diǎn)N,當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí),求四邊形GHMN的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)決定在學(xué)生中開展丟沙包、打籃球、跳大繩和踢毽球四種項(xiàng)目的活動(dòng),為了解學(xué)生對(duì)四種項(xiàng)目的喜歡情況,隨機(jī)調(diào)查了該校m 名學(xué)生最喜歡的一種項(xiàng)目(每名學(xué)生必選且只能選擇四種活動(dòng)項(xiàng)目的一種),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
學(xué)生最喜歡的活動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)m=;n=;p=.
(2)請(qǐng)根據(jù)以上信息直接補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該校2000 名學(xué)生中有多少名學(xué)生最喜歡跳大繩.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng),且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,連結(jié)CE,過點(diǎn)C作CF⊥CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,EF交BC于點(diǎn)G.
(1)求證:△CDE≌△CBF;
(2)當(dāng)DE= 時(shí),求CG的長(zhǎng);
(3)連結(jié)AG,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中,四邊形CEAG能否為平行四邊形?若能,求出此時(shí)DE的長(zhǎng);若不能,說明理由.
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