Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿邊CB向點(diǎn)B以每秒a個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）當(dāng)a=2時(shí)，解答下列問題：

①Q(mào)B=　 　，PD=　 　．（用含t的代數(shù)式分別表示）

②通過計(jì)算說明，不存在t的值使得四邊形PDBQ為菱形．

（2）當(dāng)a為某個(gè)數(shù)值時(shí)，四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求a的值及四邊形PDBQ為菱形時(shí)t的值．

（3）當(dāng)t=2時(shí)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，恰好存在線段PQ的中點(diǎn)M到△ABC三邊距離相等，直接寫出此刻a的值．

Answer 1

【答案】（1）①8﹣2t，t，②不存在，理由見解析；

（2）經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）滿足條件的a的值為2．

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA===，則可求得QB與PD的值；

②易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí)DP與BD的長，由DP≠BD，可判定PDBQ不能為菱形；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；

（3）由題意AP=2，PC=4，CQ=2a，又QM=PM，點(diǎn)M到△ABC是三邊距離相等，推出CM是∠PCQ的平分線，推出PC=CQ，可得2a=4，推出a=2，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，由此即可解決問題；

試題解析：（1）①根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8﹣2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA===，

∴PD=t．

故答案為：（1）8﹣2t，t．

②不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴=，即=，

∴AD=t，

∴BD=AB﹣AD=10﹣t，

∵BQ∥DP，

∴當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，

即8﹣2t=，解得：t=．

當(dāng)t=時(shí)，PD=×=，BD=10﹣×=6，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能為菱形．

（2）設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，

則BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，

當(dāng)PD=BD時(shí)，即t=10﹣t，解得：t=，

當(dāng)PD=BQ，t=時(shí)，即×=8﹣v，解得：v=；

當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長度時(shí)，經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）由題意AP=2，PC=4，CQ=2a，

∵QM=PM，點(diǎn)M到△ABC是三邊距離相等，

∴CM是∠PCQ的平分線，

∴PC=CQ，

∴2a=4，

∴a=2，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，

∴滿足條件的a的值為2．