Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。

⑴求拋物線的解析式；

⑵設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;

⑶若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。

Answer 1

證明：⑴∵拋物線與y軸交于點C（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為………………………………1分

根據(jù)題意，得，解得

∴拋物線的解析式為………………………………………2分

⑵存在�！�………………………………………………………………………3分

由得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x＝1�！�………4分

①若以CD為底邊，則PD＝PC，設(shè)P點坐標為(x,y)，根據(jù)勾股定理，

得，即y＝4－x�！�………………………5分

又P點(x,y)在拋物線上，∴，即…………6分

解得，，應(yīng)舍去�！��！�…………………7分

∴，即點P坐標為�！�…………………8分

②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x＝1對稱，此時點P坐標為（2，3）。

∴符合條件的點P坐標為或（2，3）�！�…………………9分

⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理,

得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分

∴,

∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分

設(shè)對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中，

∵CF＝DF＝1,

∴∠CDF＝45°,

由拋物線對稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,點坐標M為（2，3），

∴DM∥BC,

∴四邊形BCDM為直角梯形, ………………………………………………………12分

由∠BCD＝90°及題意可知，

以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;

以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。

綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）�！�………………………………