Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的三個(gè)頂點(diǎn)、、．拋物線過、兩點(diǎn)．

（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)．沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

①過點(diǎn)作于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)為何值時(shí)，線段最長(zhǎng)？

②連接．在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的過程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得是等腰三角形？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①當(dāng)時(shí)，線段最長(zhǎng)為2；②共有三個(gè)時(shí)刻，，，

【解析】

（1）由于四邊形為矩形，所以點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)相同；

（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)式即為點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)式．代入二次函數(shù)解析式，求出縱坐標(biāo)表達(dá)式，將線段最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答；

②若構(gòu)成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分，，三種情況討論．若有兩種情況時(shí)間相同，則三邊長(zhǎng)度相同，為等腰三角形．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，軸，軸

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得

解得，

故拋物線的解析式為；

（2）①在和中，，即

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

∴

∵

∴當(dāng)時(shí)，線段最長(zhǎng)為2；

②依題意，共有三個(gè)時(shí)刻：

（①）當(dāng)時(shí)

因?yàn)?/span>，，

所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

整理得

解得或（此時(shí)、重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）

（②）當(dāng)時(shí)

因?yàn)?/span>，，

所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

整理得

解得，（此時(shí)不在矩形的邊上，舍去）

（③）當(dāng)時(shí)

因?yàn)?/span>，，

所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

解得（此時(shí)、重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）或

綜上，，，．