【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(0,4),B(3,4),P 為線段 OA 上一動點,過 O,P,B 三點的圓交 x 軸正半軸于點 C,連結(jié) AB, PC,BC,設(shè) OP=m.
(1)求證:當 P 與 A 重合時,四邊形 POCB 是矩形.
(2)連結(jié) PB,求 tan∠BPC 的值.
(3)記該圓的圓心為 M,連結(jié) OM,BM,當四邊形 POMB 中有一組對邊平行時,求所有滿足條件的 m 的值.
(4)作點 O 關(guān)于 PC 的對稱點O ,在點 P 的整個運動過程中,當點O 落在△APB 的內(nèi)部 (含邊界)時,請寫出 m 的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)tan∠BPC=;(3)m=或 m=;(4)0≤m≤或 m=.
【解析】
(1)由∠COA=90°可知PC為直徑,所以∠PBC=90°,P、A重合時得3個直角,即證四邊形POCB為矩形.
(2)題干已知的邊長只有OA、AB,所以要把∠BPC轉(zhuǎn)化到與OA、OB有關(guān)的三角形內(nèi).連接O,B,根據(jù)圓周角定理,得∠COB=∠BPC,又AB∥OC有∠ABP=∠COB,得∠BPC=∠ABO.
(3)分兩種情況:①OP∥BM即BM⊥x軸,延長BM交x軸于N,根據(jù)垂徑定理得ON=CN=3,設(shè)半徑為r,利用Rt△CMN的三邊關(guān)系列方程即可求出;②OM∥PB,根據(jù)圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)得到△BOM≌△COM,所以BO=CO=5,用m表示各條線段,再利用勾股定理列方程求得m的值.
(4)因為點O與點O'關(guān)于直線對稱,所以∠PO'C=∠POC=90°,即點O'在圓上;考慮點P運動到特殊位置:①點O'與點O重合;②點O'落在AB上;③點O'與點B重合.算出對應的m值再考慮范圍.
(1)∵∠COA=90°,∴PC是直徑,∴∠PBC=90°.
∵A(0,4)B(3,4),∴AB⊥y軸,∴當A與P重合時,∠OPB=90°,∴四邊形POCB是矩形;
(2)連結(jié)OB,(如圖1)
∴∠BPC=∠BOC.
∵AB∥OC,∴∠ABO=∠BOC,∴∠BPC=∠BOC=∠ABO,∴tan∠BPC=tan∠ABO;
(3)∵PC為直徑,∴M為PC中點.
①如圖2,當OP∥BM時,延長BM交x軸于點N.
∵OP∥BM,∴BN⊥OC于N,∴ON=NC,四邊形OABN是矩形,∴NC=ON=AB=3,BN=OA=4.
設(shè)⊙M半徑為r,則BM=CM=PM=r,∴MN=BN﹣BM=4﹣r.
∵MN2+NC2=CM2,∴(4﹣r)2+32=r2
解得:r,∴MN=4.
∵M、N分別為PC、OC中點,∴m=OP=2MN;
②如圖3,當OM∥PB時,∠BOM=∠PBO.
∵∠PBO=∠PCO,∠PCO=∠MOC,∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO.
在△BOM與△COM中,∵∠BOM=∠COM,∠OBM=∠OCM,BM=CM,∴△BOM≌△COM(AAS),∴OC=OB5.
∵AP=4﹣m,∴BP2=AP2+AB2=(4﹣m)2+32.
∵∠ABO=∠BOC=∠BPC,∠BAO=∠PBC=90°,∴△ABO∽△BPC,∴,∴PC,∴PC2BP2[(4﹣m)2+32].
又PC2=OP2+OC2=m2+52,∴[(4﹣m)2+32]=m2+52
解得:m或m=10(舍去).
綜上所述:m或m.
(4)∵點O與點O'關(guān)于直線對稱,∴∠PO'C=∠POC=90°,即點O'在圓上.
當O'與O重合時,得:m=0;
當O'落在AB上時,得:m;
當O'與點B重合時,得:m;
∴0≤m或m.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長為4,∠MDN=90°,將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn),其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點,DN邊與射線BC交于點F;連接EF,且EF與直線AC交于點P.
(1)如圖1,點E在線段AB上時,①求證:AE=CF;②求證:DP垂直平分EF;
(2)當AE=1時,求PQ的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測量某風景區(qū)內(nèi)一座塔AB的高度,小明分別在塔的對面一樓房CD的樓底C、樓頂D處,測得塔頂A的仰角為45°和30°,已知樓高CD為10m,求塔的高度.(sin30°=0.50,cos30°≈0.87,tan30°≈0.58)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游,推出了如下收費標準:
某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游,共支付給春秋旅行社旅游費用27000元,請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某次模擬考試后,抽取 m 名學生的數(shù)學成績進行整理分組,形成如下表格(x 代表成績),并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(橫坐標表示成績,單位:分).
A 組 | 140<x≤150 |
B 組 | 130<x≤140 |
C 組 | 120<x≤130 |
D 組 | 110<x≤120 |
E 組 | 100<x≤110 |
(1)m 的值為多少,扇形統(tǒng)計圖中 D 組對應的圓心角是多少度.
(2)請補全條形統(tǒng)計圖,并標注出相應的人數(shù).
(3)若此次考試數(shù)學成績 130 分以上的為優(yōu)秀,參加此次模擬考的學生總數(shù)為 2000,請估算此次考試數(shù)學成績優(yōu)秀的學生人數(shù).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,點D,E分別為邊AB,AC上的點,且DE∥BC,BD=DE=2,CE=,BC=.動點P從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿B→D→E→C勻速運動,運動到點C時停止.過點P作PQ⊥BC于點Q,設(shè)△BPQ的面積為S,點P的運動時間為t,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( )
A. B.
C. D.
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【題目】分別寫一個滿足下列條件的一元二次方程:
方程的兩個根相等___________________________________
方程的兩根互為相反數(shù)______________________________________
方程的兩根互為倒數(shù)__________________________________________
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【題目】T1、T2分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形.設(shè)T1的半徑r,T1、T2的邊長分別為a、b,T1、T2的面積分別為S1、S2.下列結(jié)論:①r:a=1:1;②r:b=;③a:b=1:;④S1:S2=3:4.其中正確的有_____.(填序號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是△ABC的角平分線.以O為圓心,OC為半徑作⊙O.
(1)求證:AB是⊙O的切線.
(2)已知AO交⊙O于點E,延長AO交⊙O于點D,tanD=,求的值.
(3)(3分)在(2)的條件下,設(shè)⊙O的半徑為3,求AB的長.
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