【題目】如圖①,直線AB的解析式為y=﹣x+4,拋物線y=﹣+bx+cy軸交于點A,與x軸交于點C6,0),點P是拋物線上一動點,設點P的橫坐標為m

1)求拋物線的解析式;

2)當點P在第一象限內時,求ABP面積的最大值,并求此時點P的坐標;

3)如圖②,當點Py軸右側時,過點A作直線lx軸,過點PPHl于點H,將APH繞點A順時針旋轉,當點H的對應點H恰好落在直線AB上時,點P的對應點P恰好落在坐標軸上,請直接寫出點P的橫坐標.

【答案】1;(2)面積最大值為8;(3

【解析】

1)先利用直線進行確定則A0,4),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;

2)連接OP,設Pm,﹣m2+m+4),解方程﹣x+40B3,0),根據(jù)三角形面積公式,利用面積的和差得到SABPSAOP+SPOBSAOB×4m+×3(﹣m2+m+4)﹣×3×4,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質解決問題;

3)先利用勾股定理計算出AB5,討論:當點P落在x軸上,如圖2,根據(jù)旋轉的性質得=4﹣(﹣m2+m+4)=m2mAHAHm,∠PHA=∠PHA90°,再證明△BPH∽△BAO,利用相似得到BHm2m,然后利用AH′+BHAB得到m+m2m5,解方程求出m即可得到P點橫坐標;當點P落在y軸上,如圖3,同理可得PHPHm2mAHAHm,∠PHA=∠PHA90°,通過證明△AHP′′∽△AOB,然后利用相似比得到(m2m):3m4,然后解關于m的方程即可得到對應P點橫坐標.

解:(1)當x0時,y=﹣x+44,則A04),

∵拋物線y=﹣x2+bx+cy軸交于點A,與x軸交于點C6,0),

,解得:,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4;

2)連接OP

Pm,﹣m2+m+4),

y0時,﹣x+40,解得x3,

B3,0),

SABPSAOP+SPOBSAOB×4m+×3(﹣m2+m+4)﹣×3×4

=﹣m2+4m,

=﹣m42+8,

m4時,△ABP面積有最大值,最大值為8,此時P點坐標為(4,4);

3)在RtOAB中,AB5

當點落在x軸上,如圖2

∵△APH繞點A順時針旋轉,使點H的對應點恰好落在直線AB上,同時恰好落在x軸上

PH4﹣(﹣m2+m+4)=m2m,AHm,=∠PHA90°,

=∠ABO

∽△BAO,

OAOB,即(m2m):43

m2m,

,

m+m2m5,

解得m12,m2=﹣2(舍去),

此時P點橫坐標為2;

當點P落在y軸上,如圖3,

同理可得PHm2m,AHm,=∠PHA90°,

=∠BAO

∽△AOB,

OBAHAO,即(m2m):3m4,

整理得4m225m0,

解得m1m20(舍去),

此時P點橫坐標為

綜上所述,P點橫坐標為2

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