Question

【題目】小明在課外學習時遇到這樣一個問題：
定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1 ， b1 ， c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2 ， b2 ， c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2 ， c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”．
求函數(shù)y=﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由函數(shù)y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根據a1+a2=0，b1=b2 ， c1+c2=0，求出a2 ， b2 ， c2 ， 就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”．
請參考小明的方法解決下面問題：
（1）寫出函數(shù)y=﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數(shù)”；
（2）若函數(shù)y=﹣x2+ mx﹣2與y=x2﹣2nx+n互為“旋轉函數(shù)”，求（m+n）2015的值；
（3）已知函數(shù)y=﹣ （x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1 ， B1 ， C1 ， 試證明經過點A1 ， B1 ， C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣ （x+1）（x﹣4）互為“旋轉函數(shù)．”

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，

∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，

∴a2=1，b2=3，c2=2，

∴函數(shù)y=﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數(shù)”為y=x2+3x+2

（2）

解：根據題意得 m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，

∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1

（3）

證明：當x=0時，y=﹣ （x+1）（x﹣4）=2，則C（0，2），

當y=0時，﹣ （x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，則A（﹣1，0），B（4，0），

∵點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，

∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），

設經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2（﹣1）4=﹣2，解得a2= ，

∴經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2，

而y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2，

∴a1+a2=﹣ + =0，b1=b2= ，c1+c2=2﹣2=0，

∴經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣ （x+1）（x﹣4）互為“旋轉函數(shù)

【解析】（1）根據“旋轉函數(shù)”的定義求出a2 ， b2 ， c2 ， 從而得到原函數(shù)的“旋轉函數(shù)”；（2）根據“旋轉函數(shù)”的定義得到 m=﹣2n，﹣2+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據乘方的意義計算；（3）先根據拋物線與坐標軸的交點問題確定A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），則可利用交點式求出經過點A1 ， B1 ， C1的二次函數(shù)解析式為y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2，再把y=﹣ （x+1）x﹣4）化為一般式，然后根據“旋轉函數(shù)”的定義進行判斷．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和矩形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．