Question

【題目】孔明是一個喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標(biāo)系的原點，兩直角邊與該拋物線交于、兩點，請解答以下問題：

（1）若測得（如圖1），求的值；

（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過作軸于點，測得，寫出此時點的坐標(biāo)，并求點的橫坐標(biāo)；

（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點、的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） （2）點的橫坐標(biāo)為 （3）恒過點（，）

【解析】

試題分析：

（1）先求出點坐標(biāo)，代入拋物線可得值

（2）過點作軸，可證△∽△，得出，可得方程點的橫坐標(biāo)

（3）設(shè)（，）（），（，）（），易知△∽△，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可知交點、的連線段總經(jīng)過一個固定的點（，）

試題解析：

解：（1）設(shè)線段與軸的交點為，由對稱性可得為中點，

∵ ，，

∴，∴（，）

將（，）代入拋物線得，.

（2）過點作軸于點，

∵點的橫坐標(biāo)為，∴ （1，），

∴.

又∵，易知，又，

∴△∽△，

∴

∴

設(shè)點（，）（），則，，

∴

∴，即點的橫坐標(biāo)為.

（3）設(shè)（，）（），（，）（），

設(shè)直線的解析式為：，則，

得，，

∴

又易知△∽△，

∴，∴，

∴

∴.

由此可知不論為何值，直線恒過點（，）