Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx得 ，解得 ，

∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣x2+4x；

（2）解：過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，如圖1，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），

BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∵S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）=6，

整理得3m2﹣15m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，﹣5）；

（3）解：∵拋物線的對(duì)稱性為直線x=2，

而點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴C（3，3），

以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類情況討論：

①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，

CM=MN，∠CMN=90°，易證得△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴MC= = ，

∴S△CMN= × × = ；

②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)M作DE⊥y軸，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，作輔助線，易得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，

∴CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，

CN=MN，∠MNC=90°，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，

∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5，

∴CN= = ，

∴S△CMN= × × =17；

④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，如圖5，

易得Rt△NEM≌Rt△CDN，

∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD﹣BC=EM﹣BC=1，

∴CN= = ，

∴S△CMN= × × =5；

⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為： 或 或17或5．

【解析】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題目.此題目綜合性比較強(qiáng)，解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形做出輔助線.
（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式；
（2）過P作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則BH=AH=3，HD=m2-4m，PD=m-1，根據(jù)S△ABP+S四邊形HAPD-S△BPD得到關(guān)于m的方程，解方程可得P的坐標(biāo)；
（3）先利用拋物線的對(duì)稱性得到C（3，3），下面分五種情況討論：①以點(diǎn)M在直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)；②以點(diǎn)M在直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)；③以點(diǎn)N在直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)；④以點(diǎn)N在直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)；⑤以點(diǎn)C在直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形.