Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（t，0）時(shí)，試用含t的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于，若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）．（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2+t）．（3）存在. 點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1（，0），P2（-，0），P3（-，0），P4（，0）．

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解．

（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞0時(shí)；

②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時(shí)；即-＜t≤0時(shí)

③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時(shí)，即t≤-時(shí)．

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

試題解析：（1）如圖1，

過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．

由已知得：BF=OE=2，

∴OF=，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）．

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），

則有，

∴．

∴直線AB的解析式是y=-x+4，

（2）∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，

∴△ABD≌△AOP．

∴AP=AD，∠DAB=∠PAO．

∴∠DAP=∠BAO=60°．

∴△ADP是等邊三角形．

如圖2，

過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長(zhǎng)EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH．

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，

∴BG=BDcos60°=．DG=BDsin60°=t．

∴OH=EG=，DH=2+t．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2+t）．

（3）存在．

假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動(dòng)過程中，使△OPD的面積等于．

設(shè)點(diǎn)P為（t，0），下面分三種情況討論：

①當(dāng)t＞0時(shí)，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，

∴DH=2+t．

∵△OPD的面積等于，

∴t（2+t）=，

∴t1=，t2=（舍去）．

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，0）．

②∵當(dāng)D在x軸上時(shí)，如圖3，

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，

∴當(dāng)-＜t≤0時(shí)，如答圖1，BD=OP=-t，DG=-t，

∴GH=BF=2-（-t）=2+t．

∵△OPD的面積等于

∴-t（2-t）=，

∴t1=-，t2=-

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-，0），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-，0）．

③當(dāng)t≤-時(shí)，BD=OP=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．

∵△OPD的面積等于，

∴（-t）（-2-t）=，

∴t1=，t2=（舍去）．

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（，0）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1（，0），P2（-，0），P3（-，0），P4（，0）．