【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△AOB是等邊三角形,點A的坐標是(0,4),點B在第一象限,點P是x軸上的一個動點,連接AP,并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉,使邊AO與AB重合,得到△ABD.
(1)求B的坐標;
(2)當點P運動到點(t,0)時,試用含t的式子表示點D的坐標;
(3)是否存在點P,使△OPD的面積等于,若存在,請求出符合條件的點P的坐標(直接寫出結果即可)
【答案】(1)點B的坐標是(2,2).(2)點D的坐標為(,2+t).(3)存在. 點P的坐標分別為P1(,0),P2(-,0),P3(-,0),P4(,0).
【解析】
試題分析:(1)過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F.依題意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得點B的坐標.設直線AB的解析式是y=kx+b,把已知坐標代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋轉得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等邊三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函數求出BG=BDcos60°,DG=BDsin60°.然后求出OH,DH,然后求出點D的坐標.
(3)分三種情況進行討論:
①當P在x軸正半軸上時,即t>0時;
②當P在x軸負半軸,但D在x軸上方時;即-<t≤0時
③當P在x軸負半軸,D在x軸下方時,即t≤-時.
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值.
試題解析:(1)如圖1,
過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F.
由已知得:BF=OE=2,
∴OF=,
∴點B的坐標是(2,2).
設直線AB的解析式是y=kx+b(k≠0),
則有,
∴.
∴直線AB的解析式是y=-x+4,
(2)∵△ABD由△AOP旋轉得到,
∴△ABD≌△AOP.
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.
∴△ADP是等邊三角形.
如圖2,
過點D作DH⊥x軸于點H,延長EB交DH于點G,則BG⊥DH.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BDcos60°=.DG=BDsin60°=t.
∴OH=EG=,DH=2+t.
∴點D的坐標為(,2+t).
(3)存在.
假設存在點P,在它的運動過程中,使△OPD的面積等于.
設點P為(t,0),下面分三種情況討論:
①當t>0時,如答圖2,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2+t.
∵△OPD的面積等于,
∴t(2+t)=,
∴t1=,t2=(舍去).
∴點P1的坐標為(,0).
②∵當D在x軸上時,如圖3,
根據銳角三角函數求出BD=OP=,
∴當-<t≤0時,如答圖1,BD=OP=-t,DG=-t,
∴GH=BF=2-(-t)=2+t.
∵△OPD的面積等于
∴-t(2-t)=,
∴t1=-,t2=-
∴點P2的坐標為(-,0),點P3的坐標為(-,0).
③當t≤-時,BD=OP=-t,DG=-t,
∴DH=-t-2.
∵△OPD的面積等于,
∴(-t)(-2-t)=,
∴t1=,t2=(舍去).
∴點P4的坐標為(,0).
綜上所述,點P的坐標分別為P1(,0),P2(-,0),P3(-,0),P4(,0).
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A. 購買一張彩票,中獎
B. 通常加熱到100℃時,水沸騰
C. 任意畫一個三角形,其內角和是360°
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