Question

【題目】如圖，中，，，的斜邊在x軸的正半軸上，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，隨著頂點(diǎn)A由O點(diǎn)出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動(dòng)，點(diǎn)B也沿著x軸向點(diǎn)O滑動(dòng)，直到與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．

中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)______．

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是______．

Answer 1

【答案】

【解析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，確定中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑：以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑的圓弧，半徑OP=AB=2，代入周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（2）分為兩種情況：

①當(dāng)A從O到現(xiàn)在的點(diǎn)A處時(shí)，如圖2，此時(shí)C′A⊥y軸，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是CC′的長(zhǎng)；

②當(dāng)A再繼續(xù)向上移動(dòng)，直到點(diǎn)B與O重合時(shí)，如圖3，此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是從C′到C，長(zhǎng)是CC′；

分別計(jì)算并相加．

（1）如圖1，∵∠AOB=90°，P為AB的中點(diǎn)，

∴OP=AB，

∵AB=，

∴OP=2，

∴AB中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑的圓弧，

即AB中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=×2×2π=π；

（2）①當(dāng)A從O到現(xiàn)在的點(diǎn)A處時(shí)，如圖2，此時(shí)C′A⊥y軸，

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是CC′的長(zhǎng)，

∴AC′=OC=8，

∵AC′∥OB，

∴∠AC′O=∠COB，

∴cos∠AC′O=cos∠COB=，

∴，

∴OC′=4，

∴CC′=4-8；

②當(dāng)A再繼續(xù)向上移動(dòng)，直到點(diǎn)B與O重合時(shí)，如圖3，

此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是從C′到C，長(zhǎng)是CC′，

CC′=OC′-BC=4-4，

綜上所述，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是：4-8+4-4=8-12；

故答案為：(1). (2).