【題目】綜合與實踐

問題情境:在數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了這樣一個問題:如圖1,在矩形ABCD中,AD=2AB,EAB延長線上一點,且BE=AB,連接DE,交BC于點M,以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG,連接AM.試判斷線段AMDE的位置關(guān)系.

探究展示:勤奮小組發(fā)現(xiàn),AM垂直平分DE,并展示了如下的證明方法:

證明:∵BE=AB,∴AE=2AB.

∵AD=2AB,∴AD=AE.

四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.

.(依據(jù)1)

∵BE=AB,∴.∴EM=DM.

AM△ADEDE邊上的中線,

∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依據(jù)2)

∴AM垂直平分DE.

反思交流:

(1)①上述證明過程中的依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么?

試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上,請直接回答,不必證明;

(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進(jìn)行探究,如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上,請你給出證明;

探索發(fā)現(xiàn):

(3)如圖3,連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點C,點B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上,請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

【解析】

(1)①直接得出結(jié)論;

②借助問題情景即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出∠BCE+BEC=90°,進(jìn)而判斷出∠BEC=BCG,得出GHC≌△CBE,判斷出AD=BC,進(jìn)而判斷出HC=BH,即可得出結(jié)論;

(3)先判斷出四邊形BENM為矩形,進(jìn)而得出∠1+2=90°,再判斷出∠1=3,得出ENF≌△EBC,即可得出結(jié)論.

(1)①依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例).

依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的三線合一”).

②答:點A在線段GF的垂直平分線上.

理由:由問題情景知,AMDE,

∵四邊形DEFG是正方形,

DEFG,

∴點A在線段GF的垂直平分線上.

(2)證明:過點GGHBC于點H,

∵四邊形ABCD是矩形,點EAB的延長線上,

∴∠CBE=ABC=GHC=90°,

∴∠BCE+BEC=90°.

∵四邊形CEFG為正方形,

CG=CE,GCE=90°,

∴∠BCE+BCG=90°.

∴∠2BEC=BCG.

∴△GHC≌△CBE.

HC=BE,

∵四邊形ABCD是矩形,

AD=BC.

AD=2AB,BE=AB,

BC=2BE=2HC,

HC=BH.

GH垂直平分BC.

∴點GBC的垂直平分線上.

(3)答:點FBC邊的垂直平分線上(或點FAD邊的垂直平分線上).

過點FFMBC于點M,過點EENFM于點N.

∴∠BMN=ENM=ENF=90°.

∵四邊形ABCD是矩形,點EAB的延長線上,

∴∠CBE=ABC=90°,

∴四邊形BENM為矩形.

BM=EN,BEN=90°.

∴∠1+2=90°.

∵四邊形CEFG為正方形,

EF=EC,CEF=90°.

∴∠2+3=90°.

∴∠1=3.

∵∠CBE=ENF=90°,

∴△ENF≌△EBC.

NE=BE.BM=BE.

∵四邊形ABCD是矩形,

AD=BC.

AD=2AB,AB=BE.

BC=2BM.

BM=MC.

FM垂直平分BC.

∴點FBC邊的垂直平分線上.

練習(xí)冊系列答案
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1)化簡函數(shù)解析式,當(dāng)x2時,y   ;當(dāng)x2時,y   

2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,請在圖1的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yx+|x2|的圖象;

3)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):   ;

4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,利用圖2解決問題,若關(guān)于x的方程ax+1x+|x2|有兩個實數(shù)根,直接寫出實數(shù)a的取值范圍:   

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