Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=CB，∠BAC=∠BCA，∠ABC=90°，F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF.

(1)求證:Rt△ABE≌ Rt△CBF；

(2)求證:AE⊥CF；

(3)若∠CAE=30°，求∠ACF度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠ACF=60°

【解析】

(1)在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可證Rt△ABE≌Rt△CBF;

(2)延長(zhǎng)AE交CF于D,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠CDE=∠ABC=90°;

(3)由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB與∠ACB的度數(shù)，即可得∠BAE的度數(shù)，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度數(shù)，則由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．

（1）證明：

∵∠ABC=90°

∴∠ABE=∠CBF=90°

∴△ABE和△CBF是直角三角形

∵AB=BC，AE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)

（2）延長(zhǎng)AE交CF于D，

∵△ABE≌△CBF

∴∠BAE=∠BCF

∵∠AEB=∠CED

∴∠BAE+∠AEB=90°

∴∠DCE+∠CED=90°

∴∠CDE=90°

∴AE⊥CF.

（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，

∴∠BCA=∠BAC=45°，

∴∠EAB=15°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠EAB=∠FCB，

∴∠FCB=15°，

∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°，

即∠ACF=60°．