Question

【題目】（滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)

分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.

（1）直接填寫：= ，b= ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；

（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】解：（1），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）………………………… 3分

（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D, 過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E.

由∠CDA=90°得，∠1+∠2="90°. " 又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°，

∴△CED∽△DOA，∴.

設(shè)D（0，c），則.

變形得，解之得.

綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形. ………………………………… 7分

（3）①若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.

延長CP交x軸于M，

∴AM=CM， ∴AM2=CM2.

設(shè)M（m，0），則( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.

設(shè)直線CM的解析式為y=k1x+b1，

則， 解之得，.

∴直線CM的解析式.…………………………………………… 8分

聯(lián)立，解之得或(舍去).∴.…… 9分

②若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.

過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N.

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得.

∴, 點(diǎn)F坐標(biāo)為（-5,1）. …………………………………10分

設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，解之得.

∴直線CF的解析式. ……………………………………………11分

聯(lián)立，解之得或(舍去). ∴.

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或………………………………12分

【解析】

略