Question

【題目】定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．

（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．

（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．

（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．

①求∠AED的度數(shù)；

②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠E＝α；（2）見解析；（3）①∠AED＝45°；②

【解析】

（1）由角平分線的定義可得出結(jié)論；

（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，證得∠ABF=∠FBC，證出∠ACD=∠DCT，則CE是△ABC的外角平分線，可得出結(jié)論；

（3）①連接CF，由條件得出∠BFC=∠BAC，則∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，證明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE=DA，則∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，則可求出答案；

②過點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FM⊥CE于點(diǎn)M，證得△EGA∽△ADC，得出，求出，設(shè)AD=4x，AC=5x，則有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的長，求出DM，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出FM，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．

解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，

（2）如圖1，延長BC到點(diǎn)T，

∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠FDC+∠FBC＝180°，

又∵∠FDE+∠FDC＝180°，

∴∠FDE＝∠FBC，

∵DF平分∠ADE，

∴∠ADF＝∠FDE，

∵∠ADF＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠FBC，

∴BE是∠ABC的平分線，

∵，

∴∠ACD＝∠BFD，

∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，

∴∠DCT＝∠BFD，

∴∠ACD＝∠DCT，

∴CE是△ABC的外角平分線，

∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．

（3）①如圖2，連接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，

∴∠BAC＝2∠BEC，

∵∠BFC＝∠BAC，

∴∠BFC＝2∠BEC，

∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，

∴∠BEC＝∠FCE，

∵∠FCE＝∠FAD，

∴∠BEC＝∠FAD，

又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，

∴△FDE≌△FDA（AAS），

∴DE＝DA，

∴∠AED＝∠DAE，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，

∴∠AED＝∠DAE＝45°，

②如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FM⊥CE于點(diǎn)M，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，

∵∠AED＝45°，

∴∠AED＝∠FAC，

∵∠FED＝∠FAD，

∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，

∴∠AEG＝∠CAD，

∵∠EGA＝∠ADC＝90°，

∴△EGA∽△ADC，

∴，

∵在Rt△ABG中，AG＝，

在Rt△ADE中，AE＝AD，

∴，

在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，

∴設(shè)AD＝4x，AC＝5x，則有（4x）2+52＝（5x）2，

∴x＝，

∴ED＝AD＝，

∴CE＝CD+DE＝，

∵∠BEC＝∠FCE，

∴FC＝FE，

∵FM⊥CE，

∴EM＝CE＝，

∴DM＝DE﹣EM＝，

∵∠FDM＝45°，

∴FM＝DM＝，

∴S△DEF＝DEFM＝．