Question

【題目】如圖直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過此正方形的頂點B、D作BE⊥l于點E，DF⊥l于點F．以正方形對角線的交點O為端點，引兩條相互垂直的射線分別與AD、CD交于G、H兩點，若EF=2，S△ABE= ，則線段GH長度的最小值是____．

Answer 1

【答案】1．

【解析】

∵直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，BE⊥l于點E，DF⊥l于點F．

∴∠BAD=∠BDA=∠DFA=90°，AB=AD.

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠DAF+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∴△ABE≌△DAF，

∴BE=AF.

設(shè)AE=，則由EF=2，可得：AF==BE，

又∵S△ABE=，

∴，解得：，即AE=1，

∴BE=AF=EF-AE=2-1=1.

∴AB==AD=CD.

∵四邊形ABCD是正方形，OG⊥OH，

∴∠AOD=∠GOH=90°，OA=OD，∠OAG=∠ODH=45°，

∴∠AOG+∠GOD=90°，∠GOD+∠DOH=90°，

∴∠AOG=∠DOH，

∴△AOG≌△DOH，

∴OG=OH.

∴GH=.

∴當(dāng)OG最小時，GH最小.

∵當(dāng)OG⊥AD時，OG最小，而此時由OA=OD，∠AOD=90°可得OG=AD=，

∴GH最小=.