Question

求方程m²-2mn+14n²=217的自然數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專(zhuān)題：

分析：先判斷n的范圍，分別討論每一個(gè)n值，確定符合條件的m的值．

解答：解：方程m²-2mn+14n²=217，可化為：（m-n）²+13n²=217，
則可得（m-n）²≥0，n²≤

217

13

≈16.7，
∴n可取0，1，2，3，4，
①當(dāng)n=0時(shí)，m²=217，217不是完全平方數(shù)，不符合題意；
②當(dāng)n=1時(shí)，（m-1）²=204，204不是完全平方數(shù)，不符合題意；
③當(dāng)n=2時(shí)，（m-2）²=165，165不是完全平方數(shù)，不符合題意；
④當(dāng)n=3時(shí)，（m-3）²=100，100是完全平方數(shù)，此時(shí)m=13；
⑤當(dāng)n=4時(shí)，（m-4）²=9，9是完全平方數(shù)，此時(shí)m=1；
綜上可得方程m²-2mn+14n²=217的自然數(shù)解為：

n1=3 m2=13

，

n2=4 m2=1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了非一次不定方程，解答本題的關(guān)鍵是確定n的可取值，難度較大．