【題目】定義:有一組鄰邊均和一條對角線相等的四邊形叫做鄰和四邊形.

1)如圖1,四邊形ABCD中,∠ABC70°,∠BAC40°,∠ACD=∠ADC80°,求證:四邊形ABCD是鄰和四邊形.

2)如圖2,是由50個小正三角形組成的網(wǎng)格,每個小正三角形的頂點稱為格點,已知A,B,C三點的位置如圖,請在網(wǎng)格圖中標(biāo)出所有的格點D,使得以A,BCD為頂點的四邊形為鄰和四邊形.

3)如圖3,△ABC中,∠ABC90°,AB4,BC4,若存在一點D,使四邊形ABCD是鄰和四邊形,求鄰和四邊形ABCD的面積.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;(32416

【解析】

1)根據(jù)題意先由三角形的內(nèi)角和為180°求得∠ACB的度數(shù),從而根據(jù)等腰三角形的判定證得ABACAD,按照鄰和四邊形的定義即可得出結(jié)論;

2)根據(jù)題意以點A為圓心,AB長為半徑畫圓,與網(wǎng)格的交點,以及△ABC外側(cè)與點B和點C組成等邊三角形的網(wǎng)格點即為所求;

3)由題意先根據(jù)勾股定理求得AC的長,再分類計算即可:當(dāng)DADCAC時;當(dāng)CDCBBD時;當(dāng)DADCDBABADBD時.

解:(1)∵∠ACB180°﹣∠ABC﹣∠BAC70°,

∴∠ACB=∠ABC

ABAC

∵∠ACD=∠ADC

ACAD,

ABACAD

∴四邊形ABCD是鄰和四邊形.

2)如圖,格點DD',D'即為所求作的點.

3)∵在△ABC中,∠ABC90°,AB4,BC4,

AC8,

顯然AB,BCAC互不相等.分兩種情況討論:

當(dāng)DADCAC時,如圖所示:

SADCAC216,SABCAB×BC8

S四邊形ABCDSADC+SABC24

當(dāng)CDCBBD時,如圖所示:

SBDCBC212,SADBABBC)=4,

S四邊形ABCDSBDC+SADB16

當(dāng)DADCDBABADBD時,鄰和四邊形ABCD不存在.

∴鄰和四邊形ABCD的面積是2416

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