【題目】如圖,已知拋物線 與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C且OB=OC,點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn),且點(diǎn)P位于x軸下方,點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合。
(1)求拋物線的解析式
(2)若△PAC的面積為 ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)
(3)若以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S,則S取何值時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個?
【答案】
(1)解:∵拋物線y= x2+ax+4a與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,
∴C(0,4a),4a<0,
∵OB=OC,
∴B(-4a,0),
∵B在拋物線上,
∴ (-4a)2+a(-4a)+4a=0,
解得a=0或a=-1,
∵a<0,
∴a=-1,
∴拋物線的解析式為y= x2-x-4;
(2)解:設(shè)P(m, m2-m-4),
由y= x2-x-4得A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),
①如圖1,P在B、C之間時,即0<m<4,設(shè)PA與y軸交于D,
∵A(-2,0),P(m, m2-m-4),
∴直線PA的解析式為y= (m-4)(x+2),
∴D(0,m-4),
∴CD=m,
∴S△PAC= DC(xP-xA)=
m(m+2),
∵△PAC的面積為 ,
∴ m(m+2)=
,
解得m=-1± ,
∵0<m<4,
∴m=-1+ ,
yP=- -2
,故P(-1+
,-
-2
);
②如圖2,點(diǎn)P在A、C之間時,即-2<m<0,過P作y軸平行線交于AC于D點(diǎn),
∵A(-2,0),C(0,4),
∴直線AC的解析式為y=-2x-4,
∴D(m,-2m-4),
∴PD=-2m-4-( m2-m-4)=-
m2-m,
∴S△PAC= PD(xC-xA)=-
m2-m,
∴- m2-m=
,解得m=-1,
∴P(-1,- ),
綜上,符合條件的點(diǎn)P有兩個,分別是(-1+ ,-
-2
)或(-1,-
);
(3)解;由題意可得:P(m, m2-m-4),
①如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在A、C之間時,即-2<m<0,連接AC,
則S四邊形APCB=S△PAC+S△ABC,
由(2)得S△PAC=- m2-m,
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),
∴S△ABC= ABCO=1,
∴S=- m2-m+12=-
(m+1)2+
,
∵-2<m<0,
∴12≤S≤ ,
此時當(dāng)12≤S≤ 時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個;當(dāng)S=
時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個.
②如圖4,當(dāng)點(diǎn)在B、C之間時,即0<m<4,連接PA,
則S四邊形APCB=S△PAC+S△APB,
由(2)得S△PAC= m(m+2),
又S△PAB= AB×|yP|,
∵P在第四象限,
∴yP<0,
∴S△PAB= ×AB×|yP|=
×6×(-
m2+m+4),
∴S=S△ACP+S△APB=-m2+4m+12=-(m-2)2+16,
∵0<m<4,12<S≤ ,
此時當(dāng)12<S<16時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個,
當(dāng)S=16時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個,
由①②得:
當(dāng)12≤S≤ ,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個;
當(dāng)S= 時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個;
當(dāng)12<S<16時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個,
當(dāng)S=16時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個;
綜上所述: <S<16時,對應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個.
【解析】(1)可利用二次函數(shù)圖像的特殊點(diǎn)加上所給條件,易得a=-1,解得二次函數(shù)解析式
(2)由于p在x軸下方,考慮實(shí)際情況,可能出現(xiàn)y軸左右兩種情況,所以要分情況討論,在利用坐標(biāo)軸把三角形分為兩個以坐標(biāo)軸為底邊的三角形,結(jié)合所給數(shù)據(jù),還有△PAC的面積為 可列方程從而得到m的值,再得到點(diǎn)p的坐標(biāo),需要注意的是保證所取得的坐標(biāo)在取值范圍之內(nèi)。
(3)由(2)可知要分情況討論,利用(2)所得的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出每一段函數(shù)中p對應(yīng)的個數(shù),從而取得點(diǎn)P有且只有2個時S的取值范圍
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(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
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(1)設(shè)如圖中陰影部分面積為S1,如圖中陰影部分面積為S2,請用含a、b的代數(shù)式表示: ____ __,
___ ___(只需表示,不必化簡);
(2)以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個乘法公式?
請寫出這個乘法公式__ ____;
(3)利用(2)中得到的公式,
計(jì)算:.
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【題目】兩枚正四面體骰子的各面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,現(xiàn)在同時投擲這兩枚骰子,并分別記錄著地的面所得的點(diǎn)數(shù)為a、b.
(1)假設(shè)兩枚正四面體都是質(zhì)地均勻,各面著地的可能性相同,請你在下面表格內(nèi)列舉出所有情形(例如(1,2),表示a=1,b=2),并求出兩次著地的面點(diǎn)數(shù)相同的概率.
b | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | (1,2) | |||
2 | ||||
3 | ||||
4 |
(2)為了驗(yàn)證試驗(yàn)用的正四面體質(zhì)地是否均勻,小明和他的同學(xué)取一枚正四面體進(jìn)行投擲試驗(yàn).試驗(yàn)中標(biāo)號為1的面著地的數(shù)據(jù)如下:
試驗(yàn)總次數(shù) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 600 |
“標(biāo)號1”的面著地的次數(shù) | 15 | 26 | 34 | 48 | 63 | 125 |
“標(biāo)號1”的面著地的頻率 | 0.3 | 0.26 | 0.23 | 0.24 |
請完成表格(數(shù)字精確到0.01),并根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)估計(jì)“標(biāo)號1的面著地”的概率是多少?
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A.0是整式
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