【題目】如圖,已知拋物線 與x軸交于點A,B,與y軸負半軸交于點C且OB=OC,點P為拋物線上的一個動點,且點P位于x軸下方,點P與點C不重合。

(1)求拋物線的解析式
(2)若△PAC的面積為 ,求點P的坐標
(3)若以A、B、C、P為頂點的四邊形面積記作S,則S取何值時,對應(yīng)的點P有且只有2個?

【答案】
(1)解:∵拋物線y= x2+ax+4a與y軸負半軸交于點C,

∴C(0,4a),4a<0,

∵OB=OC,

∴B(-4a,0),

∵B在拋物線上,

(-4a)2+a(-4a)+4a=0,

解得a=0或a=-1,

∵a<0,

∴a=-1,

∴拋物線的解析式為y= x2-x-4;


(2)解:設(shè)P(m, m2-m-4),

由y= x2-x-4得A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),

①如圖1,P在B、C之間時,即0<m<4,設(shè)PA與y軸交于D,

∵A(-2,0),P(m, m2-m-4),

∴直線PA的解析式為y= (m-4)(x+2),

∴D(0,m-4),

∴CD=m,

∴SPAC= DC(xP-xA)= m(m+2),

∵△PAC的面積為 ,

m(m+2)=

解得m=-1± ,

∵0<m<4,

∴m=-1+ ,

yP=- -2 ,故P(-1+ ,- -2 );

②如圖2,點P在A、C之間時,即-2<m<0,過P作y軸平行線交于AC于D點,

∵A(-2,0),C(0,4),

∴直線AC的解析式為y=-2x-4,

∴D(m,-2m-4),

∴PD=-2m-4-( m2-m-4)=- m2-m,

∴SPAC= PD(xC-xA)=- m2-m,

∴- m2-m= ,解得m=-1,

∴P(-1,- ),

綜上,符合條件的點P有兩個,分別是(-1+ ,- -2 )或(-1,- );


(3)解;由題意可得:P(m, m2-m-4),

①如圖3,當點P在A、C之間時,即-2<m<0,連接AC,

則S四邊形APCB=SPAC+SABC

由(2)得SPAC=- m2-m,

∵A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),

∴SABC= ABCO=1,

∴S=- m2-m+12=- (m+1)2+

∵-2<m<0,

∴12≤S≤

此時當12≤S≤ 時,對應(yīng)的點P有且只有2個;當S= 時,對應(yīng)的點P有且只有1個.

②如圖4,當點在B、C之間時,即0<m<4,連接PA,

則S四邊形APCB=SPAC+SAPB,

由(2)得SPAC= m(m+2),

又SPAB= AB×|yP|,

∵P在第四象限,

∴yP<0,

∴SPAB= ×AB×|yP|= ×6×(- m2+m+4),

∴S=SACP+SAPB=-m2+4m+12=-(m-2)2+16,

∵0<m<4,12<S≤

此時當12<S<16時,對應(yīng)的點P有且只有2個,

當S=16時,對應(yīng)的點P有且只有1個,

由①②得:

當12≤S≤ ,對應(yīng)的點P有且只有2個;

當S= 時,對應(yīng)的點P有且只有1個;

當12<S<16時,對應(yīng)的點P有且只有2個,

當S=16時,對應(yīng)的點P有且只有1個;

綜上所述: <S<16時,對應(yīng)的點P有且只有2個.


【解析】(1)可利用二次函數(shù)圖像的特殊點加上所給條件,易得a=-1,解得二次函數(shù)解析式
(2)由于p在x軸下方,考慮實際情況,可能出現(xiàn)y軸左右兩種情況,所以要分情況討論,在利用坐標軸把三角形分為兩個以坐標軸為底邊的三角形,結(jié)合所給數(shù)據(jù),還有△PAC的面積為 可列方程從而得到m的值,再得到點p的坐標,需要注意的是保證所取得的坐標在取值范圍之內(nèi)。
(3)由(2)可知要分情況討論,利用(2)所得的數(shù)據(jù)可以計算出每一段函數(shù)中p對應(yīng)的個數(shù),從而取得點P有且只有2個時S的取值范圍

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2)以上結(jié)果可以驗證哪個乘法公式?

請寫出這個乘法公式__ ____;

3)利用(2)中得到的公式,

計算:

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b
a

1

2

3

4

1

(1,2)

2

3

4


(2)為了驗證試驗用的正四面體質(zhì)地是否均勻,小明和他的同學(xué)取一枚正四面體進行投擲試驗.試驗中標號為1的面著地的數(shù)據(jù)如下:

試驗總次數(shù)

50

100

150

200

250

600

“標號1”的面著地的次數(shù)

15

26

34

48

63

125

“標號1”的面著地的頻率

0.3

0.26

0.23

0.24

請完成表格(數(shù)字精確到0.01),并根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)估計“標號1的面著地”的概率是多少?

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