Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AD=4，BC=8，則AE+EF等于    ．

Answer 1

【答案】分析：作輔助線，延長(zhǎng)BC至G，使DG∥AC，由AD∥BC，可知四邊形ADGC為平行四邊形，所以DG=AC，而等腰梯形中兩對(duì)角線相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，則△DBG為等腰直角三角形，則可利用勾股定理求DG，又根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知DF=FG，再利用勾股定理可求得FG，從而得到FC=FG-AD=2，根據(jù)ADFE為矩形和等腰梯形的兩腰相等可證△ABE≌△DCF，則BE=FC，則EF=BC-2FC=8-2FC=4，所以AE+EF=6+4=10．
解答：解：延長(zhǎng)BC至G，使DG∥AC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADGC為平行四邊形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG為等腰直角三角形，
∴BG²=2BD²
∴（BC+AD）²=2BD²
∴BD=DG=6
∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF²=（）²
∴DF=6，可得FC=6-4=2，
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD∥BC，
∴ADFE為矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴EF=BC-2FC=8-2FC=4，
∴AE+EF=6+4=10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定以及等腰梯形的性質(zhì)和最基本輔助線作法，此題的關(guān)鍵是作輔助線，然后利用等腰梯形的性質(zhì)和等腰直角三角形求解．