【題目】如圖，已知正方形的邊長為，點，，，分別在正方形的四條邊上，且，則四邊形的形狀為________，它的面積的最小值為________．

【答案】正方形

【解析】

先證明△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG,從而得到HE=EF=FG=HG,然后證明EFGH四邊形有一個角是直角,從而可判斷出四邊形EFGH的形狀,設AE=x,則AH=(-x),依據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理可得到四邊形EFGH的面積與x的函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得二次函數(shù)的最小值即可.

∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D.
∵AE=DF=CG=BH,
∴AH=ED=FG=BG.
在△AEH、△DFE、△CGF、△BHG中, ,
∴△AEH≌△DFE≌CGF≌△BHG.
∴HE=EF=FG=HG.
∴四邊形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△DFE,
∴∠AEH=∠DFE.
∵∠AHE+∠AEH=90°,
∴∠DEF+∠AEH=90°.
∴∠HEF=90°.
∴EHGF為正方形.
設AE=x,則AH=(-x).

∵正方形EFHG的面積=HE=AE+AH=x+( -x) =2x-2 x+5,
∴當x=時,正方形的面積有最小值.
∴正方形EFHG的面積的最小值=.
故答案為:正方形;.

練習冊系列答案
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（1）當CD=1時，求點E的坐標；

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別交于點、，，將正方形平移，使點保持在上（不與重合），設，正方形與重疊部分的面積為．

求與的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍；

為何值時的值最大？

在哪個范圍取值時的值隨的增大而減��？

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【題目】如圖1，已知線段、相交于點O，連接、.

（1）求證：；

（2）如圖2，與的平分線、相交于點P，求證：.

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（1）證明：CF＝EB．

（2）證明：AB＝AF+2EB．

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