如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,PAB的中點(diǎn),Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)DQt(0≤t≤2),線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N,過(guò)QQEAB于點(diǎn)E,過(guò)MMFBC于點(diǎn)F

    (1)當(dāng)t≠1時(shí),求證:△PEQ≌△NFM;

    (2)順次連接PM、Q、N,設(shè)四邊形PMQN的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值.

 


解:(1)∵四邊形ABCD是正方形

∴∠A=∠B=∠D=90°,ADAB

QEABMFBC

∴∠AEQ=∠MFB=90°

        ∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形

        ∴MFABQEAD,MFQE

        又∵PQMN

∴∠EQP=∠FMN

又∵∠QEP=∠MFN=90°

∴△PEQ≌△NFM

   (2)∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn),AB=2,DQAEt

PA=1,PE=1-t,QE=2

由勾股定理,得PQ

∵△PEQ≌△NFM

MNPQ

又∵PQMN

St2t

∵0≤t≤2

∴當(dāng)t=1時(shí),S最小值=2.

綜上:St2t,S的最小值為2.

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