如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P為AB的中點(diǎn),Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)DQ=t(0≤t≤2),線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N,過(guò)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)M作MF⊥BC于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)t≠1時(shí),求證:△PEQ≌△NFM;
(2)順次連接P、M、Q、N,設(shè)四邊形PMQN的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值.
解:(1)∵四邊形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB
∵QE⊥AB,MF⊥BC
∴∠AEQ=∠MFB=90°
∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形
∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE
又∵PQ⊥MN
∴∠EQP=∠FMN
又∵∠QEP=∠MFN=90°
∴△PEQ≌△NFM.
(2)∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn),AB=2,DQ=AE=t
∴PA=1,PE=1-t,QE=2
由勾股定理,得PQ==
∵△PEQ≌△NFM
∴MN=PQ=
又∵PQ⊥MN
∴S===t2-t+
∵0≤t≤2
∴當(dāng)t=1時(shí),S最小值=2.
綜上:S=t2-t+,S的最小值為2.
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