Question

如圖，正方形CEFG的對角線CF在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CE＞BC），點(diǎn)M在CF上，且MF=AB，線段AF與DM交于點(diǎn)N．
（1）求證：DN=MN
（2）探究線段NG、MD的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由已知條件CEFG的對角線CF在正方形ABCD的邊BC的延長線上，可以知道AD∥BF，進(jìn)而得到角相等證明△ADN≌△FMN，就可以得出結(jié)論．
（2）連接GD、GM，證明三角形全等可以得到△GDM是等腰直角三角形，且DN=MN，可以得出NG、MD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，AD∥BF，
∴∠3=∠4，∠AND=∠FNM，
∵M(jìn)F=AB，
∴AD=CD=MF，
∴△ADN≌△FMN，
∴DN=MN．

（2）GN⊥DM，DM=2GN．
證明：連接GD、GM，
∵四邊形CEFG是正方形，
∴GC=GF，∠CGF=90°，∠GFM=∠GCF=45°，
∴∠DCG=45°，
∴∠DCG=∠GFM，
∵CD=MF，
∴△GDC≌△GMF
∴GD=GM，∠1=∠2，
∵∠2+∠CGM=90°，
∴∠1+∠CGM=90°
∴∠DGM=90°，
∵DN=MN．
∴GN⊥DM，DM=2GN．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．