Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）如圖2，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P位線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
（3）如圖3，連接AC，在x軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），

當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3）；

拋物線的對稱軸是直線x= =1

（2）解：設直線BC的函數(shù)關系式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分別代入得 ，解得k=﹣1，b=3，

∴直線BC的函數(shù)關系式為y=﹣x+3，

∵對稱軸是直線x=1，

∴E（1，2），

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D的坐標為（1，4），

當x=m 時，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，﹣m2+2m+3），

∴線段DE=4﹣2=2，線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m；

∵PF∥DE，

∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，即﹣m2+3m=2，解得m1=2，m2=1（不合題意，舍去），

∴當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形

（3）解：設在x軸上存在點Q（x，0），使△ACQ為等腰三角形．分三種情況：

①如果QA=QC，那么（x+1）2=x2+32，

解得x=4，

則點Q1（4，0）；

②如果CA=CQ，那么12+32=x2+32，

解得x1=1，x2=﹣1（不合題意舍去），

則點Q2（1，0）；

③如果AC=AQ，那么12+32=（x+1）2，

解得x1= ﹣1，x2=﹣ ﹣1，

則點Q3（ ﹣1，0），Q4（﹣ ﹣1，0）；

綜上所述存在點Q，使△ACQ為等腰三角形．它的坐標為：Q1（4，0），Q2（1，0），Q3（ ﹣1，0），Q4（﹣ ﹣1，0）．

【解析】（1）通過解方程-x2+2x+3=0可得A點和B點坐標，再計算自變量為0時的函數(shù)值可得到C點坐標，然后利用對稱性可確定拋物線的對稱軸；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)關系式為y=-x+3，再確定E（1，2），D（1，4），表示出P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m2+2m+3），接著計算出DE=2，PF=-m2+3m，然后利用平行四邊形的判定方法得到-m2+3m=2，再解方程求出m即可．
（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進行討論即可求解．
【考點精析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)和坐標確定位置對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減��；對于平面內(nèi)任一點P，過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對應的數(shù)a,b分別叫點P的橫坐標和縱坐標．