Question

已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)；
（2）若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明拋物線的對稱軸＜0即可證明拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)；
（2）根據(jù)題中已知條件求出m的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式；
（3）先設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的x₁與x₂關(guān)系求出m值，進(jìn)而可求得△ABC的面積．
解答：（1）證明：∵m＞0，
∴x=-=-＜0，
∴拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)；

（2）解：設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-m＜0，x₁•x₂=-m²＜0，
∴x₁與x₂異號，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∴OA=|x₁|=-x₁ ，
OB=x₂，
代入得：=，
=，
從而，
解得m=2，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3；

（3）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-m²
∴點(diǎn)C（0，-m²），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB²=AC²+BC²，
∴（x₁-x₂）²=x₁²+（-m²）²+x₂²+（-m²）²
∴-2x₁•x₂=m⁴
∴-2（-m²）=m⁴，
解得m=，
∴S_△ABC=×|AB|•|OC|=|x₁-x₂|•=×2m×m²=．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的公式的求法和三角形面積的求法等知識點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．