Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD，BD分別平分∠CAB和∠CBA，相交于點D．
（1）如圖1，過點D作DE∥AC，DF∥BC分別交AB于點E、F． ①若∠EDF=80°，則∠C為多少？
②若∠EDF=x°，證明：∠ADB=（90+ ）°．
（2）如圖2，若DE，BE分別平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分別平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度數(shù)是整數(shù)，求∠BFE至少是多少度？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EDF=80°，

∴∠DEF+∠EDF=180°﹣80°=100°，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠BAC，

同理得：∠EFD=∠ABC，

∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°，

∴∠C=80°

故答案為：80°；

②∵∠EDF=x°，

∴∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠BAC，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠DEF=2∠BAD，

同理得：∠EFD=2∠ABD，

∴∠BAD+∠ABD= ，

∴∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣ =90°+ =（90+ ）°

（2）解：∵DE平分∠ADB，

∴∠BDE= ∠ADB=45°+ ，

∵∠BED+∠DBE=180°﹣∠BDE，

∵EF，BF分別平分∠BED和∠EBD，

∴ ∠BED+ ∠DBE=90°﹣ ∠BDE，

即∠BEF+∠EBF=90°﹣ ∠BDE，

∴∠BFE=180°﹣（∠BEF+∠EBF），

=180°﹣（90°﹣ ∠BDE），

=90°+ ∠BDE，

=90°+ （45°+ ），

=90°+22°+ + ，

=112°+ ，

∵∠BFE的度數(shù)是整數(shù)，

當x=4時，∠BFE=113°．

答：∠BFE至少是113度

【解析】（1）①先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得：∠DEF+∠EDF=100°，再由平行線的性質(zhì)得：∠BED=∠BAC，∠EFD=∠ABC，所以∠C=180°﹣100°=80°；②同理先求出∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得：∠DEF=2∠BAD，同理得：∠EFD=2∠ABD，則∠BAD+∠ABD= ，再由三角形內(nèi)角和可求得結(jié)論；（2）依據(jù)②的結(jié)論得：∠ADB=（90+ ）°，則∠BDE= ∠ADB=45°+ ，由三角形的內(nèi)角和定理得：∠BED+∠DBE=180°﹣∠BDE，再由角平分線定義得： ∠BED+ ∠DBE=90°﹣ ∠BDE，代入∠BFE=180°﹣（∠BEF+∠EBF），可得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．