Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點P是對角線BD上任意一點，連接PA,PC，過點P作PE⊥PC交直線AB于點E.

（1）求證： PC=PE；

（2）延長AP交直線CD于點F.

①如圖2，若點F是CD的中點，求△APE的面積；

②若△APE的面積是，則DF的長為_________；

（3）如圖3，點E在邊AB上，連接EC交BD于點M，作點E關于BD的對稱點Q，連接PQ， MQ，過點P作交EC于點N，連接，若，則的面積是________.

Answer 1

【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）

【解析】

（1）利用正方形每個角都是90°，對角線平分對角的性質，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，等角對等邊等性質容易得證;

（2）作出△ADP和△DFP的高，由面積法容易求出這個高的值.從而得到△PAE的底和高，并求出面積.第2小問思路一樣，通過面積法列出方程求解即可;

（3）根據已經條件證出△MNQ是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面積.

(1) 證明：∵點P在對角線BD上，

∴△ADP≌△CDP,

∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,

∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,

∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,

∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,

∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,

∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,

∴∠PEA=∠PAE,

∴PC=PE;

（2）①如圖2，過點P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、G.延長GP交AB于點M.

∵四邊形ABCD是正方形，P在對角線上，

∴四邊形HPGD是正方形，

∴PH=PG,PM⊥AB,

設PH=PG=a,

∵F是CD中點，AD＝6，則FD=3,=9,

∵==,

∴,解得a=2,

∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,

又∵PA=PE,

∴AM=EM,AE=4,

∵=,

②設HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,

∴=,

解得b=2.4,

∵==,

∴,

∴當b=2.4時，DF=4；當b＝3.6時，DF＝9,

即DF的長為4或9;

（3）如圖，

∵E、Q關于BP對稱，PN∥CD,

∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,

∴∠1+∠4=45°,

∴∠3=∠4,

易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,

∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,

∴∠6+∠7=90°,

∴△MNQ是直角三角形,

設EM=a,NC=b列方程組

,

可得ab=,

∴,