Question

【題目】如圖，點A在直線l上，點Q沿著直線l以3厘米/秒的速度由點A向右運動，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= ，點C在點Q右側，CQ=1厘米，過點C作直線m⊥l，過△ABQ的外接圓圓心O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF= CD，以DE、DF為鄰邊作矩形DEGF．設運動時間為t秒．

（1）直接用含t的代數(shù)式表示BQ、DF；
（2）當0＜t＜1時，求矩形DEGF的最大面積；
（3）點Q在整個運動過程中，當矩形DEGF為正方形時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點Q沿著直線l以3厘米/秒的速度由點A向右運動，運動時間為t秒．

∴AQ=3t，

∵∠BAQ=90°，tan∠ABQ= = ，

∴AB=4t，

∴BQ= =5t，

作OM⊥AQ于M，則AM=QM= AQ=1.5t，CD=OM，

∴OM是△ABQ的中位線，

∴CD=OM= AB=2t，

∴DF= CD= t

（2）解：設矩形DEGF的面積為S，

∵OE=OB= BQ= t，OD=QM+CQ= t+1，

∴DE=OD﹣OE= t+1﹣ t=1﹣t，

∴ ，

∴當t= 時，矩形DEGF的最大面積為

（3）解：當矩形DEGF為正方形時，則DE=DF，分兩種情況：

①當0＜t＜1時，如圖1所示：

DE=1﹣t，

∴1﹣t= t，

解得：t= ；

②當t≥1時，如圖2所示：

DE=t﹣1，

∴t﹣1= t，

解得：t=3；

綜上所述：當矩形DEGF為正方形時，t的值為 或3．

【解析】（1）由已知得出AQ=3t，由三角函數(shù)求出AB=4t，再由勾股定理求出BQ= 5t，作OM⊥AQ于M，則AM=QM= AQ=1.5t，CD=OM，由三角形的中位線定理得出CD=OM= AB=2t，進而得出結論；
（2）設矩形DEGF的面積為S，OE= t，OD=QM+CQ= t+1，

∴DE=OD﹣OE= t+1﹣ t=1﹣t，由矩形的面積得出s是t的二次函數(shù)，即可得出答案；
（3）當矩形DEGF為正方形時，則DE=DF，分兩種情況：①當0＜t＜1時，如圖1所示得出方程，解方程即可；②當t≥1時，如圖2所示：DE=t﹣1，得出方程，解方程即可。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．