Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=- x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為D（3，2）．將△AOB沿直線CD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線CD與x軸交于點(diǎn)C．

（1）求此一次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)P（除點(diǎn)C外），使得以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ACD全等，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），

由線段AB的中點(diǎn)為D（3，2），得

=3， =2，

解得a=6，b=4．

即A（6，0），B（0，4）

故一次函數(shù)解析式為y=- x+4

（2）解：如圖1：

連接BC，設(shè)OC=x，則AC=CB=6-x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

42+x2=（6-x）2，

解得x= ，

即C（ ，0）

（3）解：①當(dāng)△ACD≌△APD時，設(shè)P1（c，d），

由D是PC的中點(diǎn)，得

， =2，

解得c= ，d=4，

即P1（ ，4）；

如圖2：

，

②當(dāng)△ACD≌△DP2A時，

做DE⊥AC與E，P2F⊥AC與F點(diǎn)，DE=2，CE= ，

由△CDE≌△AP2F，

AF=CE= ，P2F=DE=2，

OF=6- = ，

∴P2（ ，-2）；

③當(dāng)△ACD≌△DP3A時，設(shè)P3（e，f）

A是線段P2P3的中點(diǎn)，得

， ，

解得e= ，f=2，

即P3（ ，2），

綜上所述：P1（ ，4）；P2（ ，-2）；P3（ ，2）

【解析】（1）把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求出A，B的坐標(biāo)和b的值，得到一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意和全等三角形的判定方法，求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).