Question

【題目】如圖，已知拋物線與y軸相交于點(diǎn)A（0，3），與x正半軸相交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線x=1．

（1）求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN為矩形．

②當(dāng)t＞0時(shí)，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（2）①；②．

【解析】

試題分析：（1）由對(duì)稱軸公式可求得b，由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得c，則可求得拋物線解析式；再令y=0可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①用t可表示出ON和OM，則可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出PM的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)可得ON=PM，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；②由題意可知OB=OA，故當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出OQ和BQ的長(zhǎng)，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

試題解析：

（1）∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=1，∴﹣ =1，解得b=2，∵拋物線過(guò)A（0，3），∴c=3，∴拋物線解析式為，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）①由題意可知ON=3t，OM=2t，∵P在拋物線上，∴P（2t，），∵四邊形OMPN為矩形，∴ON=PM，∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），∴當(dāng)t的值為1時(shí)，四邊形OMPN為矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，∴當(dāng)t＞0時(shí)，OQ≠OB，∴當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，由題意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ= =，BQ==|2t﹣3|，又由題意可知0＜t＜1，當(dāng)OB=QB時(shí)，則有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；

當(dāng)OQ=BQ時(shí)，則有=|2t﹣3|，解得t=；

綜上可知當(dāng)t的值為或時(shí)，△BOQ為等腰三角形．