Question

【題目】如圖，直線l：y=-x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(m，5)為直線l上一點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）①m= ；

②當(dāng)t= 時(shí)，△PBC的面積是1.

（2）請寫出點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBC的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）點(diǎn)D、E分別是直線AB、x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段QB的中點(diǎn)時(shí)(如右圖)，△CDE周長的最小值是 .

Answer 1

【答案】(1)1；2或6(2)見解析（3）2．

【解析】

（1）①把點(diǎn)P（m，5）代入y＝x＋4即可求得；

②得到B的坐標(biāo)，表示出BC，根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)于t的方程，解得即可；

（2）根據(jù)三角形面積公式列出即可；

（3）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，關(guān)于AO的對稱點(diǎn)G，連接DF，EG，由軸對稱的性質(zhì)，可得DF＝DC，EC＝EG，故當(dāng)點(diǎn)F，D，E，G在同一直線上時(shí)，△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此時(shí)△DEC周長最小，依據(jù)勾股定理即可得到FG的長，進(jìn)而得到△CDE周長的最小值．

（1）①∵點(diǎn)P（m，5）為直線l上一點(diǎn)，

∴5＝m＋4，

解得m＝1，

故答案為1；

②由直線l：y＝x＋4可知A（4，0），B（0，4），

由題意可知：BC＝4t或BC＝t4，

∵S△PBC＝BC|xP|＝1，

∴ (4t)×1＝1或（t4）×1＝1，

解得t＝2或t＝6；

故答案為2或6；

（2）∵BC＝4t或BC＝t4，

∴△PBC的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝

（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，關(guān)于AO的對稱點(diǎn)G，連接DF，EG，

∵點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，

∴BC＝CO＝2，OG＝2，BG＝6，

易得∠ABC＝45°，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝2，

由軸對稱的性質(zhì)，可得DF＝DC，EC＝EG，

當(dāng)點(diǎn)F，D，E，G在同一直線上時(shí)，△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，

此時(shí)△DEC周長最小，

∵Rt△BFG中，FG＝，

∴△CDE周長的最小值是2．

故答案為2．

【點(diǎn)晴】

本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，軸對稱最短路線問題，解題的關(guān)鍵是利用對稱性在找到△CDE周長的最小時(shí)點(diǎn)D、點(diǎn)E位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．