Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點(diǎn)A（3，0），B（1，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)P是拋物線AC間上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A、C不重合），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求線段PD的最大值，并求最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在問題（3）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法直接求出函數(shù)的解析式；
（2）△ADP是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)有2個(gè)．
（3）要求出PD的最值，首先要求出AC的解析式，最后把長(zhǎng)度表示出來，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出來
（4）因?yàn)轭}目在（3）的條件下確定了P點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行四邊形對(duì)角線所分得的三角形全等而求出F的縱坐標(biāo)來求出F的坐標(biāo)
解答：解：（1）由題意得：
，
解得：．
∴該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+4x-3；

（2）設(shè)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b，
∵A（3，0），C（0，-3），

P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P₁（1，0），P₂（2，1）；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意得
，
解得：．
∴直線AC的解析式為y=x-3．
設(shè)P（x，-x²+4x-3）則D（x，x-3），
PD=-x²+4x-3-（x-3）
=-，
∴PD的最大值為，P（）；

（4）當(dāng)APXF是平行四邊形時(shí)，則：△APE≌△XFE，
∴這兩個(gè)三角形的高相等，
∵P（），
∴F的縱坐標(biāo)為-，
∴F．
當(dāng)F點(diǎn)與P點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．F（），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為：或（）．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合運(yùn)用的試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)的最值，二次函數(shù)頂點(diǎn)式的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)．