如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)點(diǎn)Q是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△QOB為等腰三角形,請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)
分析:(1)已知了拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)已知了B、C的坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式.
(3)由于三角形ABC和三角形PAB的面積相等,根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比,可得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值.可將其代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(4)本題分三種情況,如下圖:
①OQ=QB,此時(shí)Q在OB的垂直平分線上,因此Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半,然后可代入直線BC的解析式中求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
②OQ=OB,此時(shí)可根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo),然后用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間距離公式表示出OQ的長(zhǎng),然后根據(jù)OB的長(zhǎng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
③OB=BQ,解法同②.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-4),精英家教網(wǎng)
已知拋物線過(guò)C(0,3),則有:
3=a(0+1)(0-4),a=-
3
4

∴拋物線的解析式為y=-
3
4
x2+
9
4
x+3

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,
已知直線BC過(guò)B(4,0),則有:
4k+3=0,k=-
3
4

∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-
3
4
x+3

(3)存在一點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積
∵△ABC的底邊AB上的高為3
設(shè)△PAB的高為h,則|h|=3,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3或-3
∴當(dāng)3=-
3
4
x2+
9
4
x+3時(shí),
得x=0,x=3;
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3),(3,3),而點(diǎn)(0,3)與C點(diǎn)重合,故舍去.
當(dāng)-3=-
3
4
x2+
9
4
x+3,
得x=
3+
41
2
,x=
3-
41
2

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1(3,3),P2
3+
41
2
,-3),P3
3-
41
2
,-3)

(4)Q1(2,
3
2
),Q2
36
5
,-
12
5
),Q3
4
5
,
12
5
),Q4-
28
25
,
96
25
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)M是直線CD上的一動(dòng)點(diǎn),BM交拋物線于N,是否存在點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn),如果存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且對(duì)稱軸方程為x=1
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),E(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,且該精英家教網(wǎng)函數(shù)的最大值是4.
(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
 
,
 
);
(2)求該拋物線的解析式和B點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)是D,求四邊形AEDB的面積;
(4)若拋物線y=mx2+nx+p與上圖中的拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,請(qǐng)直接寫出m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•株洲)如圖,已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A(1,0),對(duì)稱軸是x=-1,則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是( 。

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如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線CD于點(diǎn)F,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似,請(qǐng)直接寫出符合要求的,并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)將拋物線沿其對(duì)稱軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn).試探究:拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度?

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