Question

【題目】已知中，邊的長(zhǎng)與邊上的高的和為，當(dāng)面積最大時(shí)，則其周長(zhǎng)的最小值為________（用含的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)BC上的高為x，則BC=a﹣x，△ABC的面積為S，S=x（a﹣x），根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得出x的值，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，再作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，交l于點(diǎn)F，可得△CBE是直角三角形，根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)，從而得出周長(zhǎng)的最小值．

設(shè)BC上的高為x．

∵邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為a，∴BC=a﹣x，設(shè)△ABC的面積為S，∴S=x（a﹣x）=﹣x2+ax．

∵當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，∴x=a，∴BC=a，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，再作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，交l于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最小值，∴BG=GE=AD=a，∴BE=a．

∵直線l∥BC，∴∠EBC=∠EGA=90°，∴CE==a，∴△ABC的最小周長(zhǎng)=a．

故答案為：a．