Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）．B（4，n）兩點(diǎn)，與軸交于D點(diǎn)，AC⊥軸，垂足為C．
【小題1】如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo).（4分）
【小題2】如圖乙，若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點(diǎn)．
①試說(shuō)明△CDE∽△EAF的理由. （4分）
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)． （4分）

Answer 1

【小題1】①∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上
∴k=4
即反比例函數(shù)關(guān)系式為 ；
②∵點(diǎn)B（4，n）在反比例函數(shù)圖象上
∴n=1
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b
∵點(diǎn)A（1，4）和B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上
∴ m+b="4" 4m+b=1 解得 m="-1" b=5  
∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（5，0）；  （4分）
【小題2】①證明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的兩角對(duì)應(yīng)相等，
∴△CDE∽△EAF．                        （4分）
②當(dāng)CE=FE時(shí)，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=，
∵A（1，4），
∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)=4-AF=4-=
∴F﹙1，﹚
當(dāng)CE=CF時(shí)，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此時(shí)E與D重合，
∴F與A重合，
∴F（1，4）
當(dāng)CF=EF時(shí)，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，顯然F為AC中點(diǎn)，
∴F（1，2）
當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(1，2)；F2(1，4)；F3(1， ) （4分）

解析