現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí):我們知道,若銳角α的三角函數(shù)值為sinα=m,則可通過(guò)計(jì)算器得到角α的大小,這時(shí)我們用arcsinm來(lái)表示α,
記作:α=arcsinm;若cosα=m,則記α=arccosm;若tanα=m,則記α=arctanm.
解決問(wèn)題:如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在AB邊或其延長(zhǎng)線上,點(diǎn)G在邊AD上.連接ED,F(xiàn)G,交點(diǎn)為H.
(1)如圖1,若AE=BF=GD,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EHF=________°;
(2)如圖2,若EF=數(shù)學(xué)公式CD,GD=數(shù)學(xué)公式AE,設(shè)∠EHF=α.請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠EHF的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出α.

解:(1)45°;
連接FC和CG(如圖1),由題意可知ABCD為正方形,AE=BF=GD,
∴△AED≌△BFC≌△DGC(SAS),
∴CF=GC,∠AED=∠BFC,∠BCF=∠DCG,
∴ED∥FC,
∴∠EHF=∠GFC,
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF,
∴△GCF是等腰直角三角形,
∴∠GFC=∠FGC=45°,
∴∠EHF=45°;

(2)答:不會(huì)變化.
證明:如圖2,過(guò)點(diǎn)F作FM∥ED交CD于M,連接GM.
∵正方形ABCD中,AB∥CD,
∴四邊形EFMD為平行四邊形.
∴EF=DM,DE=FM.
∴∠3=∠4,∠EHF=∠HFM=α.
∵EF=CD,GD=AE,
==
,
∵∠A=∠GDM=90°,
∴△DGM∽△AED.
=,∠1=∠2,
=
∵∠2+∠3=90°,∠1=∠2,∠3=∠4.
∴∠1+∠4=90°.
∴∠GMF=90°.
在Rt△GFM中,tanα==
∴α=arctan
另解2:作EM⊥CD于M,連接GM,F(xiàn)M可解,應(yīng)該簡(jiǎn)單些.
分析:(1)作輔助線,連接FC和GC,可證得△FCG為等腰直角三角形,利用∠EHF=∠GFC=45°,問(wèn)題可求.
(2)作輔助線,過(guò)點(diǎn)F作FM∥ED交CD于M,連接GM,則會(huì)有∠EHF=∠GFM,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到△GFM中,據(jù)已知正方形關(guān)系,可證得四邊形EFMD為平行四邊形,△GFM為直角三角形,于是,α可求.
點(diǎn)評(píng):本題綜合性強(qiáng),難度較大,考查學(xué)生對(duì)輔助線的運(yùn)用和綜合推理能力.
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記作:α=arcsinm;若cosα=m,則記α=arccosm;若tanα=m,則記α=arctanm.
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(1)如圖1,若AE=BF=GD,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EHF=
 
°;
(2)如圖2,若EF=
2
5
CD,GD=
2
5
AE,設(shè)∠EHF=α.請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠EHF的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出α.
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(1)如圖1,若AE=BF=GD,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EHF=         °;

(2)如圖2,若EF =CD,GD=AE,設(shè)∠EHF=α.請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)EAB上運(yùn)動(dòng)時(shí), ∠EHF的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出α.                                              


 

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(1)如圖1,若AE=BF=GD,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EHF=        °;
(2)如圖2,若EF=CD,GD=AE,設(shè)∠EHF=α.請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)EAB上運(yùn)動(dòng)時(shí), ∠EHF的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出α.                                              

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