Question

（2010•濟(jì)寧）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，P為邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線(xiàn)交邊DC于M，交邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于N．當(dāng)CP=6時(shí)，EM與EN的比值是多少？
經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：過(guò)E作直線(xiàn)平行于BC交DC，AB分別于F，G，如圖2，則可得：，因?yàn)镈E=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值．
（1）請(qǐng)按照小明的思路寫(xiě)出求解過(guò)程．
（2）小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了DP=MN的結(jié)論，你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)E作EG∥BC交DC、AB分別于F、G，如圖2，結(jié)合平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理則可得：，因?yàn)镈E=EP，可知所以DF=FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得EM：EN=EF：EG，進(jìn)而可求得EM與EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于點(diǎn)H，先利用AB∥CD，可得∠MNH=∠CMN，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)，易得∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP，而∠DPC=90°-∠CDP，那么∠DPC=∠MNH，再加上一對(duì)直角，和一組對(duì)應(yīng)邊（HM=CD），可證兩三角形△DPH和△MNH全等，從而有DP=MN．
解答：（1）解：過(guò)E作直線(xiàn)GE平行于BC交DC，AB分別于點(diǎn)F，G，（如圖2）
則，，GF=BC=12，
∵DE=EP，
∴DF=FC，（2分）
∴，EG=GF+EF=12+3=15，
∴；（4分）

（2）證明：正確，
作MH∥BC交AB于點(diǎn)H，（5分）（如圖1）
則MH=CB=CD，∠MHN=90°，
∵∠DCP=180°-90°=90°，
∴∠DCP=∠MHN，
∵NE是DP的垂直平分線(xiàn)，
∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP，∠DPC=90°-∠CDP，
∴∠DPC=∠MNH，
∴△DPC≌△MNH，（7分）
∴DP=MN．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．關(guān)鍵是作合適的輔助線(xiàn)，使所求的線(xiàn)段在一個(gè)三角形中．