Question

如圖，△ABC的內(nèi)切圓分別切BC，CA、AB三邊于D、E、F，M是EF上一點(diǎn)，且DM⊥EF，求證：DM平分∠BMC．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：連接DF、DE，設(shè)N、K分別是DF、DE的中點(diǎn)，連接BN、CK．則Rt△BFN∽R(shí)t△DEM，Rt△CEK∽R(shí)t△DFM，從而證得

BF

CE

=

FM

ME

，于是△BFM∽△CEM，所以∠BMD=∠CMD．即DM平分∠BMC．

解答：證明：連接DF、DE，設(shè)N、K分別是DF、DE的中點(diǎn)，連接BN、CK，OF，OD．則：
∵△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB三邊于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=

1

2

∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠MDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDM，
∵DM⊥EM，
∴∠BNF=∠DME=90°，
∴Rt△BFN∽R(shí)t△DEM，
∴

BF

DE

=

FN

ME

=

FD

2ME

，
同理：Rt△CEK∽R(shí)t△DFM，

CE

DF

=

EK

FM

=

ED

2FM

，
∴BF•ME=

1

2

DF•DE=CE•FM，
∴

BR

CE

=

FM

ME

，而∠BFM=∠CEM，
∴△BFM∽△CEM，
∴∠BMF=∠CME．
∵DM⊥EF，∴∠BMD=∠CMD．
即DM平分∠BMC．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．