Question

如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：∠A=∠F；
（2）△CDE與△FDC是否相似？并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，再根據(jù)DF⊥AB，得∠B+∠F=90°，則∠A=∠F；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，AD=CD，則∠A=∠DCE，再由外角的性質(zhì)即可得出∠CED=∠FCD，則△CDE∽△FDC．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，
∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，
即∠B+∠F=90°，
∴∠A=∠F；

（2）解：△CDE∽△FDC．
理由是：∵CD是斜邊AB上的中線，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DEC=∠A+∠ADE，∠DCF=∠DCE+∠ECF，
∴∠CED=∠FCD，
∴△CDE∽△FDC．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出相似的條件，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．