Question

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積。小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）請(qǐng)回答：

（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙，不重疊），則這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)為       ；

（2）求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：

（3）如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若，則AD的長(zhǎng)為       。

 

Answer 1

【答案】

（1）a

（2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四個(gè)全等的等腰直角三角形面積和為，正方形ABCD的面積為，∴。

（3）

【解析】（1）由△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形可知△AER，△BFS，△CGT，△DHW也是全等的等腰直角三角形，從而得新的正方形的邊長(zhǎng)FR=FA＋AR=FA＋AE=FA＋BF=a。

（2）由正方形ABCD的面積等于△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四個(gè)全等的等腰直角三角形面積和可知。

（3）如圖，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)H，

由可求得等邊△RPQ的邊長(zhǎng)。

設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，AD=BE=CF=x，則BD=CE=。

由等邊三角形的性質(zhì)和含30度角直角三角形的性質(zhì)，得

DH=，BH=，EH=，

PH=，DR=EP=。

由DH=DR＋RP＋PH得：，

解得，即AD的長(zhǎng)為。