Question

【題目】如圖，是等邊的外角內(nèi)部的一條射線(xiàn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，，，其中、分別交射線(xiàn)于點(diǎn)，．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若，求的大�。ㄓ煤�的式子表示）；

（3）若，，求的長(zhǎng)度（用，的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）60°－；（3）PB=x+2y．

【解析】

（1）根據(jù)題目要求正確畫(huà)圖即可；

（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)得CN是AD的垂直平分線(xiàn)，則CA＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）作輔助線(xiàn)，在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，先證明△CPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△DPC，則BF＝PD＝2PE，然后根據(jù)PB=PF+BF可得結(jié)論．

解：（1）如圖：

（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于CN對(duì)稱(chēng)，

∴CN是AD的垂直平分線(xiàn)，

∴CA=CD，

∵，

∴∠ACD=2，

∵CA=CB=CD，∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α．

∴∠BDC=∠DBC=（180°－∠BCD）=60°－α；

（3）在PB上截取PF使PF=PC，連接CF，

設(shè)，

∵CA=CD，∠ACD=2α，

∴∠CDA=∠CAD=90°－α，

∵∠BDC=60°－α，

∴∠PDE=∠CDA－∠BDC=30°，

∴PD=2PE，

∵∠CPF=∠DPE=90°－∠PDE=60°，

∴△CPF是等邊三角形，

∴∠CPF=∠CFP=60°，

∴∠BFC=∠DPC=120°，

∴在△BFC和△DPC中，

，

∴△BFC≌△DPC，

∴BF=PD=2PE，

∴PB=PF+BF=PC+2PE=x+2y．