Question

【題目】對任意一個四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”。

(1)請任意寫出三個“極數(shù)”；并猜想任意一個“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；

(2)如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的平方,則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)。若四位數(shù)m為“極數(shù)”,記D(m)=,求滿足D(m)是完全平方數(shù)的所有m.

Answer 1

【答案】（1）1287，2376，8712，任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，理由見解析；（2）D（m）是完全平方數(shù)的所有m值為1188或2673或4752或7425．

【解析】

（1）先直接利用“極數(shù)”的意義寫出三個，設(shè)出四位數(shù)n的個位數(shù)字和十位數(shù)字，進而表示出n，即可得出結(jié)論；
（2）先確定出四位數(shù)m，進而得出D（m），再再根據(jù)完全平方數(shù)的意義即可得出結(jié)論．

解：（1）根據(jù)“極數(shù)”的意義得，1287，2376，8712，

任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，

理由：設(shè)對于任意一個四位數(shù)且是“極數(shù)”n的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，（x是0到9的整數(shù)，y是0到8的整數(shù)）

∴百位數(shù)字為（9﹣x），千位數(shù)字為（9﹣y），

∴四位數(shù)n為：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），

∵x是0到9的整數(shù)，y是0到8的整數(shù)，

∴100﹣10y﹣x是整數(shù)，

∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍數(shù)，

即：任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)；

（2）設(shè)四位數(shù)m為“極數(shù)”的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，（x是0到9的整數(shù)，y是0到8的整數(shù)）

∴m＝99（100﹣10y﹣x），

∵m是四位數(shù)，

∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位數(shù)，

即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，

∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），

∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303

∵D（m）完全平方數(shù)，

∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍數(shù)也是完全平方數(shù)，

∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225這四種可能，

∴D（m）是完全平方數(shù)的所有m值為1188或2673或4752或7425．