Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交GD、CA于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論：

①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S_△ABC=S_△BDF，其中正確的結(jié)論序號是　　．

Answer 1

考點：

相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形。

分析：

首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，繼而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=AB，即可求得AF=AB；則可得S_△ABC=6S_△BDF．

解答：

解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，AG⊥AB，

∴AG∥BC，

∴△AFG∽△CFB，

∴，

∵BA=BC，

∴，

故①正確；

∵∠ABC=90°，BG⊥CD，

∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，

∴∠DBE=∠BCD，

∵AB=CB，點D是AB的中點，

∴BD=AB=CB，

∵tan∠BCD==，

∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，

∵，

∴FG=FB，

故②錯誤；

∵△AFG∽△CFB，

∴AF：CF=AG：BC=1：2，

∴AF=AC，

∵AC=AB，

∴AF=AB，

故③正確；

∵BD=AB，AF=AC，

∴S_△ABC=6S_△BDF，

故④錯誤．

故答案為：①③．

點評：

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．