Question

【題目】 （1）問題感知 如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，點P是邊AC的中點，連接BP，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°到線段PD．連接AD．過點P作PE∥AB交BC于點E，則圖中與△BEP全等的三角形是　 　，∠BAD＝　 　°；

（2）問題拓展 如圖2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，點P是CA延長線上一點，連接BP，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)到線段PD，使得∠BPD＝∠C，連接AD，則線段CP與AD之間存在的數(shù)量關(guān)系為CP＝AD，請給予證明；

（3）問題解決 如圖3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，點P在直線AC上，且∠APB＝30°，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段PD，連接AD，請直接寫出△ADP的周長．

Answer 1

【答案】（1）△PAD，90；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）由“SAS”可證△PAD≌△BEP，可得∠PAD=∠BEP=135°，依據(jù)∠ABC=45°，可得∠BAD=90°；
（2）過點P作PH∥AB，交CB的延長線于點H，由“SAS”可證△APD≌△HBP，可得PH=AD，通過證明△CAB∽△CPH，可得，即可得結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．

證明：（1）∵點P是邊AC的中點，PE∥AB，

∴點E是BC的中點，

∴CE＝BE，

∵AC＝BC，

∴BE＝AP，

∵將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°到線段PD．

∴PB＝PD，

∵∠APD+∠BPC＝90°，∠EBP +∠BPC＝90°，

∴∠EBP＝∠APD，

又∵PB＝PD，

∴△PAD≌△BEP（SAS），

∴∠PAD＝∠BEP，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵PE∥AB，

∴∠ABC＝∠PEC＝45°，

∴∠BEP＝135°，

∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，

故答案為：△PAD，90；

（2）如圖，過點P作PH∥AB，交CB的延長線于點H，

∴∠CBA＝∠CHP，∠CAB＝∠CPH，

∵CB＝CA，

∴∠CBA＝∠CAB，

∴∠CHP＝∠CPH，

∴CH＝CP，

∴BH＝AP，

∵將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°到線段PD．

∴PB＝PD，

∵∠BPD＝∠C，

∴∠BPD+∠BPC＝∠C+∠BPC，

∴∠PBH＝∠APD，

∴△APD≌△HBP（SAS），

∴PH＝AD，

∵PH∥AB，

∴△CAB∽△CPH，

∴

∴

∵AC＝BC＝AB，

∴，

∴CP＝PH＝AD；

（3）當(dāng)點P在CA的延長線上時，

∵AC＝BC＝AB＝2，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段PD，

∴BP＝PD，∠BPD＝60°＝∠ACB，

過點P作PE∥AB，交CB的延長線于點E，

∵∠ACB＝∠APB+∠ABP，

∴∠ABP＝∠APB＝30°，

∴AB＝AP＝2，

∴CP＝4，

∵AB∥PE，

∴

∴CP＝PE＝4，

由（2）得，PE＝AD＝4，

∵∠APD＝∠APB+BPD＝90°，

∴DP＝，

∴△ADP的周長＝AD+AP+DP＝+6，

當(dāng)點P在AC延長線上時，如圖，

同理可求△ADP的周長＝6+，

綜上所述：△ADP的周長為6+．