Question

如圖，在△ABC中，AC=AB=10，BC=12，圓O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F．
（1）求△ADE的周長(zhǎng)；
（2）求內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：（1）利用切線長(zhǎng)定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE，的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用勾股定理得出△ABC內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而得出內(nèi)切圓的面積．

解答：解：（1）連接AF，BO，CO，AO
∵AC=AB=10，BC=12，圓O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F，
∴AF⊥BC，AD=AE，
∴BF=CF=6，BD=BF=CF=CE=6，
∴AD=AE=4，
∵AD=AE，AB=AC，∠A=∠A，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

=

4

10

=

2

5

，
∴DE=

2

5

×12=

24

5

，
∴△ADE的周長(zhǎng)為：4+4+

24

5

=

64

5

；

（2）連接DO，AF，
由（1）得：AF=

AB2-BF2

=

102-62

=8，
設(shè)FO=r，則AO=8-r，
∴AD²+DO²=AO²，
∴r²+4²=（8-r）²，
解得：r=3，
∴內(nèi)切圓的面積為：π×3²=9π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理和相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)題意得出FO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．