Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A（﹣1，0）、B（0，3）兩點，其頂點為D．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個交點為E． 求△ODE的面積；拋物線的對稱軸上是否存在點P使得△PAB的周長最短．若存在請求出P點的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：當(dāng)y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則E（3，0）；

y=﹣（x﹣1）2+4，則D（1，4），

∴S△ODE= ×3×4=6；

連接BE交直線x=1于點P，如圖，則PA=PE，

∴PA+PB=PE+PB=BE，

此時PA+PB的值最小，

易得直線BE的解析式為 y=﹣x+3．，

當(dāng)x=1時，y=﹣x+3=3，

∴P（1，2）．

【解析】（1）把A點和B點坐標(biāo)分別代入y=﹣x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可；（2）通過解方程﹣x2+2x+3=0得到E點坐標(biāo)，再把一般式配成頂點式得到D點坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ODE的面積；連接BE交直線x=1于點P，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P點坐標(biāo)．
【考點精析】掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點是解答本題的根本，需要知道一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．