Question

【題目】在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，DA=DC=4，DB=2，AF⊥BC于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)E．

（1）求線段AE的長；

（2）若點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)GM，過點(diǎn)G作GN⊥GM交直線AB于點(diǎn)N，記△CGM的面積為S1，△AGN的面積為S2．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，試探究：S1與S2的數(shù)量關(guān)系

Answer 1

【答案】（1）；（2）S1+S2=4，見解析

【解析】

（1）先證明△ADE≌△CDB，得到DE=DB=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE．

（2）過點(diǎn)G作CD，DA的垂直線，垂足分別為P，Q，證明△MGP≌△NGQ，所以S1+S2=S△AGQ+S△CGP= S△ACD-S四邊形GQDP，即可求解．

（1）在△ABC中，CD⊥AB，AF⊥BC

∴∠ADC=∠AFB=90°

∵∠AED=∠CEF

∴∠EAD=∠BCD

在△ADE和△CDB中

∴△ADE≌△CDB

∴DE=DB=2

∴AE=

（2）在△ABC中，CD⊥AB，DA=DC=4，

點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)

過點(diǎn)G作CD，DA的垂直線，垂足分別為P，Q．

則，GP=GQ=DA=2

∠PGQ=90°=∠GQN=∠GPM

∵GN⊥GM

∴∠MGN=90°

∴∠MGP=∠NGQ

∴△MGP≌△NGQ

S1+S2=S△AGQ+S△CGP= S△ACD-S四邊形GQDP=

故答案為：4