Question

【題目】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

（1）四邊形是平行四邊形嗎？說(shuō)明理由；

（2）求證:；

（3）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求證:．

Answer 1

【答案】（1）四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由可得AB∥DC，再由AB=DC即可判定四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）由AB∥DC可得∠AED=∠CDE，然后根據(jù)CE=AB=DC可得∠CDE=∠CED，再利用三角形內(nèi)角和定理即可推出∠AED與∠DCE的關(guān)系；

（3）延長(zhǎng)DA，FE交于點(diǎn)M，由“AAS”可證△AEM≌△BEF，可得ME=EF，由直角三角形的性質(zhì)可得DE=EF=ME，由等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）四邊形是平行四邊形，理由如下：

∵

∴AB∥DC

又∵AB=DC

∴四邊形是平行四邊形．

（2）∵AB∥DC

∴∠AED=∠CDE

又∵AB=DC，CE=AB

∴DC=CE

∴∠CDE=∠CED

∴在△CDE中，2∠CDE+∠DCE=180°

∴∠CDE=90°-∠DCE

∴

（3）如圖，延長(zhǎng)DA，FE交于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴DM∥BC，DF⊥BC

∴∠M=∠EFB，DF⊥DM

∵E為AB的中點(diǎn)

∴AE=BE

在△AEM和△BEF中，

∵∠M=∠EFB，∠AEM=∠BEF，AE=BE

∴△AEM≌△BEF（AAS）

∴ME=EF

∴在Rt△DMF中，DE為斜邊MF上的中線

∴DE=ME=EF

∴∠M=∠MDE，

∴∠DEF=∠M+∠MDE=2∠M=2∠EFB．