Question

如圖，直線y₁=2x與雙曲線相交于點A、E．另一直線y₃=x+b與雙曲線交于點A、B，與x、y軸分別交于點C、D．直線EB交x軸于點F．
（1）求A、B兩點的坐標，并比較線段OA、OB的長短；
（2）由函數(shù)圖象直接寫出函數(shù)y₂＞y₃＞y₁的自變量x的取值范圍；
（3）求證：△COD∽△CBF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于點A在直線y₁=2x與雙曲線上，解方程組 ，可得點A坐標，再將求出的解集即是B點坐標，再利用勾股定理求出AO與BO的長；
（2）結(jié)合圖象當x＜-2時，取同一值時，函數(shù)圖象在上面是就大，得出y₂＞y₃＞y₁；
（3）欲證△DOC∽△CBF，已有∠OCD=∠BCF，再有一角對應(yīng)相等即可，求出直線AB、EB解析式，根據(jù)系數(shù)可判定他們垂直，即可得出解集．
解答：解：（1）由題意得：，
解得 ，或 ，
∴A（-2，-4），E（2，4），
將A坐標代入y₃=x+b中，得b=-2，即y₃=x-2，
聯(lián)立得：
解得：，
∴B（4，2）；
OA=，OB=，
∴AO=BO，

（2）∵A點坐標為（-2，-4），
∴結(jié)合圖象當x＜-2時，y₂＞y₃＞y₁；

（3）設(shè)直線EB的解析式為y=k₁x+b₁，直線AB的解析式為y=k₂x+b₂，
則有 ，，
解得：，
∵k₁•k₂=-1，
∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°
∵∠OCD=∠BCF，
∴△DOC∽△CBF．
點評：此題主要考查了函數(shù)交點坐標的求法以及相似三角形的判定和勾股定理的應(yīng)用等知識，根據(jù)已知將函數(shù)解析式聯(lián)立求出公共解集是解題關(guān)鍵．